Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, то $f(x)$ равномерно непрерывна на $[a, b]$

От противного: $f(x)$ - не равномерно непрерывна. Отрицание определения: $$\exists{\varepsilon > 0}~~ \forall{\delta = \dfrac{1}{n}}~~ \exists{x_{n}', x_{n}''}\mathpunct{:}~~ |x_{n}' - x_{n}''| < \delta \land |f(x_{n}') - f(x_{n}'')| \geq \varepsilon ~~~(*)$$ Получаем $\{x_{n}'\}, \{x_{n}''\} \subset [a, b]$ (значит они ограничены) По теореме Больцано-Вейерштрасса: $\exists{\{x_{n_{k}}'\}}\mathpunct{:}~~ x_{n_{k}}' \to x_{0}$, при этом $x''_{n_{k}} \to x_{0}$, так как: $$|x_{n_{k}}'' - x_{0}| = |(x''_{n_{k}} - x'_{n_{k}}) + (x'_{n_{k}} - x_{0})| \leq |x''_{n_{k}} - x'_{n_{k}}| + |x'_{n_{k}} - x_{0}| \to 0$$ Тогда: $$\lim_{k \to \infty} (f(x''_{n_{k}}) - f(x'_{n_{k}})) = f(x_{0}) - f(x_{0}) = 0$$ что противоречит с $(*)~~~\square$